Cálculo Integral

Descripción

En esta obra se presentan los temas fundamentales del Cálculo Integral, así como la solución paso a paso de numerosos problemas que ejemplifican la utilización de las técnicas de integración, las cuales son esenciales en la formación de los estudiantes de las áreas de ciencias básicas, ingeniería y administración.

Además de la exposición pedagógica de los temas, los problemas resueltos y los cientos de problemas propuestos para su solución, este libro se destaca por poseer un contenido que se desarrolla de acuerdo con el programa de Cálculo integral del Tecnológico Nacional de México y de instituciones a nivel superior. Así mismo cuenta con un enfoque de competencias específicas y generales. Del mismo modo, presenta software de apoyo para obtener la solución de problemas seleccionados a lo largo del texto.

VENTAJAS

• En cada capítulo se presentan enfoques por competencias específicas y generales.

• Se propone el uso de software de apoyo para obtener la solución de problemas seleccionados a lo largo del texto.

CONOZCA

• Las técnicas básicas de integración.

• El teorema fundamental del cálculo.

• Las aplicaciones más importantes del cálculo integral.

APRENDA

• A emplear las fórmulas de integración.

• La interpretación geométrica de la integral de una función.

• A resolver problemas de integración con el uso de software.

DESARROLLE SUS HABILIDADES PARA

• Resolver integrales que requieran de una interpretación o transformación para adecuarlas a una fórmula preestablecida.

• Seleccionar el método más adecuado según la estructura de la función integrando.

• Solucionar problemas de aplicación de la integral.

A QUIÉN VA DIRIGIDO

Este libro está dirigido a estudiantes de nivel universitario que deseen aprender sobre el tema; así mismo, está dirigido a profesionales que deseen impartir la materia ya que contiene varios ejercicios que cuentan con soluciones y material web de apoyo.

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Contenido

Prefacio ………………………………………………………………………………. XI

Prólogo………………………………………………………………………………. XII

Acceso al material complementario………………………………………… XIV

Capítulo 1

Teorema fundamental del cálculo ………………………………1

1.1 Una reflexión sobre el concepto de área…………………………………………………………………….. 2

1.2 Medición aproximada de figuras amorfas………………………………………………………………….. 2

1.3 Notación sumatoria 5

1.4 Sumas superiores y sumas inferiores ………………………………………………………………………… 9

1.5 Sumas de Riemann 23

1.6 Definición de integral definida ……………………………………………………………………………….. 26

1.7 Teorema de existencia …………………………………………………………………………………………… 26

1.8 Propiedades de las integrales definidas……………………………………………………………………. 30

1.9 La primitiva o antiderivada ……………………………………………………………………………………. 34

1.10 Teorema del valor intermedio ………………………………………………………………………………… 40

1.11 Teorema fundamental del cálculo……………………………………………………………………………. 42

Desarrollo de la competencia del capítulo 1 …………………………………………………………….. 51

Evaluación de la competencia del capítulo 1 ……………………………………………………………. 59

Capítulo 2

Técnicas de integración …………………………………………..63

2.1 Integral indefinida 64

2.2 Propiedades de la integral indefinida ………………………………………………………………………. 66

2.3 Cálculo de integrales indefinidas…………………………………………………………………………….. 67

2.3.1 Integrales directas………………………………………………………………………………………. 67

2.3.2 Integral por sustitución……………………………………………………………………………….. 69

2.3.3 Integración por partes…………………………………………………………………………………. 76

2.3.4 Integrales trigonométricas…………………………………………………………………………… 85

2.3.4.1 Integrales de potencias de senos y cosenos………………………………………. 85

2.3.4.2 Integrales de potencias de secante y tangentes………………………………….. 89

2.3.4.3 Integrales que involucran el producto de senos por cosenos

de ángulos diferentes…………………………………………………………………….. 93

2.3.5. Integrales trigonométricas…………………………………………………………………………… 94

2.3.6 Integración por fracciones parciales……………………………………………………………. 105

Desarrollo de la competencia del capítulo 2 …………………………………………………………… 117

Evaluación de la competencia del capítulo 2 ………………………………………………………….. 119

Capítulo 3

Aplicaciones de la integral……………………………………..123

3.1 Áreas…………………………………………………………………………………………………………………. 124

3.1.1 Área bajo la gráfica de una función…………………………………………………………….. 124

3.1.2 Área entre las gráficas de funciones……………………………………………………………. 131

3.1.3 La integración como un proceso de acumulación …………………………………………. 139

3.2 Longitud de curvas……………………………………………………………………………………………… 141

3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución ……………………………………………………… 149

3.3.1 Método de discos……………………………………………………………………………………… 150

3.3.2 Método de arandelas o anillos…………………………………………………………………… 156

3.3.3 Método de casquetes cilíndricos ………………………………………………………………… 161

3.4 Área superficial ………………………………………………………………………………………….. 166

3.5 Integrales impropias ………………………………………………………………………………………….. 172

3.6 Otras aplicaciones ………………………………………………………………………………………….. 182

3.6.1 Momentos y centros de masa …………………………………………………………………… 182

3.6.2 Trabajo……………………………………………………………………………………………………. 194

Desarrollo de la competencia del capítulo 3 …………………………………………………………… 199

Evaluación de la competencia del capítulo 3 ………………………………………………………….. 207

Capítulo 4

Series …………………………………………………………………211

4.1 Sucesiones…………………………………………………………………………………………………………. 212

4.2 Series………………………………………………………………………………………………………………… 227

4.2.1 Serie finita ………………………………………………………………………………………………. 228

4.2.2 Serie infinita ……………………………………………………………………………………………. 229

4.3 Serie numérica y convergencia……………………………………………………………………………… 235

4.3.1 Criterio de la razón…………………………………………………………………………………… 237

4.3.2 Criterio de la raíz……………………………………………………………………………………… 239

4.3.3 Criterio de la integral………………………………………………………………………………… 242

4.3.4 Criterio de las series alternantes…………………………………………………………………. 245

4.4 Series de potencias……………………………………………………………………………………………… 247

4.5 Radio de convergencia ………………………………………………………………………………………… 248

4.6 Serie de Taylor……………………………………………………………………………………………………. 252

4.7 Representación de funciones mediante la serie de Taylor…………………………………………. 253

4.8 Cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor…………………………. 262

Desarrollo de la competencia del capítulo 4 …………………………………………………………… 267

Evaluación de la competencia del capítulo 4 ………………………………………………………….. 273

Formulario…………………………………………………………………………277

Solución de problemas seleccionados ……………………………………..299

Índice analítico……………………………………………………………………303